C'est bon, on peut un peu tester ?
Dans la liste suivante, il y a nombres qui sont divisibles
par 4
396
- 412 -
316 - 200
- 430 -
123 - 446
- 448 -
17000000000000000017
2. Un premier pas vers une
démonstration
On va s'intéresser au nombre \(N=7716\).
Si on regarde le critère, il est
.
Mais pourquoi ça marche ?
En fait, \(N=7716\) peut s'écrire \( \times 100 +
16\).
Si je divise par 4 ce nombre, on trouve :
\( \frac{N}{4}=\) \( \times \frac{100}{4} +
\frac{16}{4} \)
\( \frac{N}{4}= \) \( \times 25 + 4\).
Donc, on trouve bien un nombre entier (c'est
la somme de deux nombres entiers)
C'est presque logique maintenant : \(
\frac{100}{4}=25\) et cela toujours ...
DONC, il suffit d'avoir le nombre formé
par les deux derniers chiffres dans la table de 4 pour que ça
fonctionne...
(Ce qui est le cas de 16 pour notre
exemple)
Juste pour voir si tu as bien
lu
Vérifions si 7842 est divisible par 4:
\(7842 = 7800 + 42\)
Si on le divise par 4
\( \frac{7842}{4} = \frac{78 \times 100 +
42}{4}\)
\( \frac{7842}{4} = \frac{78 \times
100}{4} + \frac{42}{4}\)
\( \frac{7842}{4} = 78 \times 25 +
\frac{42}{4}\)
Or, \( \frac{42}{4} \) n'est pas un
nombre entier
(car 42 n'est pas dans la table de
4)
Donc, on peut conclure que 7842 n'est
pas divisible par 4 et c'est pareil pour 7942 ou 8742 ...
C'est 42 qui pose problème et non le nombre de centaines ;-)
Une démonstration.
Si on veut pouvoir prouver que le critère
fonctionne tout le temps, il faut travailler avec un nombre N
quelconque...
Bon , on va se limiter à 4 chiffres et
donc, N va s'écrire abcd
En vrai comme on est dans un système de
positionnement
\( N = 1000 \times a+100 \times b+10
\times c+d \)
Jusque là ça va ...
On le divise par 4 ?
\( \frac{N}{4} = 250 \times a+25
\times b + \frac{10c+d}{4} \)
Là c'est plus délicat... 250a+25b est
bien un nombre entier.
Par contre, pour que \( \frac{10c+d}{4}\)
soit entier, il faut ... il faut ?
Ben il faut que le nombre écrit avec les
deux derniers chiffres \( cd \) soit divisible par 4 !
Cool : c'est exactement le critère
attendu ...
En fait : c'est pas compliqué ! On vient
de montrer que c'est \( 10c+d \) qui est important car la suite du
nombre N est un multiple de 100
donc, forcement divisible par 4...
J'adore les maths !