Vous avez noté ? Le critère : on fait la
somme des chiffres et on compare à la table de 3.
C'est facile, non ? Mais pourquoi donc,
ça marche ainsi ?
C'est bon, on peut un peu tester ?
Dans la liste suivante, il y a nombres qui sont divisibles
par 3.
396
- 412 - 315
- 201
- 430 -
123 - 446
- 448 -
12000000000000000033
2. Un premier pas vers une
démonstration
On va s'intéresser au nombre \(N=2436\).
Si on regarde le critère, il est
.
Mais pourquoi ça marche ?
En fait, \(N=2436\) peut s'écrire \( \times 1000 +
\) \(
\times 100 + \)
\( \times 10 + \)
Attention, c'est là que l'astuce est
importante.
On va transformer \(1000\) en \(999+1\),
idem pour 100 et 10.
Pourquoi ? Pour faire apparaître un
nombre divisible par 3 !
Donc,
\(N=2436 = 2 \times (999+1) + 4 \times
(99+1) + 3 \times (9+1) +6 \)
On développe :
\(N=2436 = 2 \times 999 +\) \( + 4 \times 99 +\)
\(+ 3
\times 9 + \)
\(+\)
Si je divise par 3 ce nombre, on trouve :
\( \frac{N}{3}= \frac{2 \times 999 +
4 \times 99 + 3 \times 9 }{3} + \frac{2+4+3+6}{3} \)
\( \frac{N}{3}= 2 \times 333 +
4 \times 33 + 3 \times 3 + \frac{2+4+3+6}{3} \)
Donc, c'est bien un nombre entier mais
seulement à condition que \( \frac{2+4+3+6}{3} \) soit un nombre
entier.
Donc, à condition que la somme 2+4+3+6
soit dans la table de 3 : ce qui est le critère attendu ;-)
Une démonstration ?
Si on veut pouvoir prouver que le critère
fonctionne tout le temps, il faut travailler avec un nombre N
quelconque...
Bon , on va se limiter à 4 chiffres et
donc, N va s'écrire abcd
En vrai comme on est dans un système de
positionnement
\( N = 1000 \times a+100 \times b+10
\times c+d \)
Jusque là ça va ...
\( N = 1000 \times a+100 \times b+10
\times c+d \)
\( N = \left(999+1\right) \times
a+\left(99+1\right) \times b+\left(9+1\right) \times c + d \)
\( N = 999a +a +99b + b + 9c+c + d
\)
\( N = \left( 999a +99b +9c \right) +
\left( a+b+c + d \right) \)
Bon : maintenant, on peut diviser par
3:
\( \frac{N}{3} = \frac{\left( 999a
+99b +9c \right) + \left( a+b+c + d \right)}{3} \)
\( \frac{N}{3} = \frac{999a +99b
+9c}{3} + \frac{a+b+c + d}{3} \)
\( \frac{N}{3} = 333a +33b +3c +
\frac{a+b+c + d}{3} \)
Là c'est plus délicat... 333a+33b+3c est
bien un nombre entier.
Par contre, pour que \(
\frac{a+b+c+d}{3}\) soit entier, il faut ... il faut ?
Ben il faut que la somme des chiffres
\(a+b+c+d\) soit dans la table de 3;
Cool : c'est exactement le critère
attendu ...
En fait : c'est pas compliqué ! On vient
de montrer que c'est la somme des chiffres qui est important dans ce
critère.
J'adore les maths !