VOus avez noté ? Le critère : on regarde
le dernier chiffre et non le fait qu'il soit pair...
C'est subtil, non ?
Car un nombre pair est un nombre qui peut
s'écrire de la forme \( 2n \) ...
Donc, par cette définition, les nombres
pairs sont divisibles par 2 : mais, ce n'est pas le critère...
C'est bon, on peut un peu tester ?
Dans la liste suivante, il y a nombres qui sont divisibles
par 2.
396
- 412 - 315
- 201
- 430 -
123 - 446
- 448 -
17000000000000000017
2. Un premier pas vers une
démonstration
On va s'intéresser au nombre \(N=7716\).
Si on regarde le critère, il est
.
Mais pourquoi ça marche ?
En fait, \(N=7716\) peut s'écrire \( \times 10 +
6\).
Si je divise par 2 ce nombre, on trouve :
\( \frac{N}{2}=\) \( \times \frac{10}{2} +
\frac{6}{2} \)
\( \frac{N}{2}= \) \( \times 5 + 3\).
Donc, on trouve bien un nombre entier (c'est
la somme de deux nombres entiers)
C'est presque logique maintenant : \(
\frac{10}{2}=5\) et cela toujours ...
DONC, il suffit de regarder le chiffre
des unités pour savoir si un nombre est divisible par 2...
(Ce qui est le cas de 6 pour notre
exemple)
Juste pour voir si tu as bien
lu
Vérifions si 7841 est divisible par 2:
\(7841 = 7840 + 1\)
Si on le divise par 2
\( \frac{7841}{2} = \frac{784 \times 10 +
1}{2}\)
\( \frac{7841}{2} = \frac{784 \times
10}{2} + \frac{1}{2}\)
\( \frac{7841}{2} = 784 \times 5 +
\frac{1}{2}\)
Or, \( \frac{1}{2} \) n'est pas un
nombre entier
(car 1 n'est pas dans la table de
2)
Donc, on peut conclure que 7841 n'est
pas divisible par 2 et c'est pareil pour 7941 ou 8741 ...
C'est 1 qui pose problème et non le nombre de dizaines ;-)
Une démonstration.
Si on veut pouvoir prouver que le critère
fonctionne tout le temps, il faut travailler avec un nombre N
quelconque...
Bon , on va se limiter à 4 chiffres et
donc, N va s'écrire abcd
En vrai comme on est dans un système de
positionnement
\( N = 1000 \times a+100 \times b+10
\times c+d \)
Jusque là ça va ...
On le divise par 2 ?
\( \frac{N}{2} = 500 \times a+ 50
\times b + 5 \times c + \frac{d}{2} \)
Là c'est plus délicat... 500a+50b+5c est
bien un nombre entier.
Par contre, pour que \( \frac{d}{2}\)
soit entier, il faut ... il faut ?
Ben il faut que d soit 0,2,4,6 ou 8...
Et, donc, que N se finisse ainsi...
Cool : c'est exactement le critère
attendu ...
En fait : c'est pas compliqué ! On vient
de montrer que c'est \( d \) qui est important car la suite du nombre
N est un multiple de 10
donc, forcement divisible par 2...
J'adore les maths !